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Galois

Articles & Analyses

N. Lygeros

Evariste Galois
1811 - 1832




HOMO SCIENTIS
Résumé : L'impuissance de la philosophie en tant qu'outil gnoséologique conduit à une critique du statut de l'homme, et la restructuration de l'ontologie de ce dernier mène à l'introduction de deux nouveaux termes : HOMME et SCIENCE...

Analyse de : Souvenirs d'apprentissage d'André Weil
Avec votre livre j'ai pu, quelque peu mieux, découvrir le personnage qui se cachait derrière la signature d'articles de Mathématique et de réflexion sur les Mathématiques qui m'avaient enthousiasmé. Autant vous le dire tout de suite votre fraîcheur d'esprit est au moins aussi grande que celle d'Hadamard - comme l'on peut s'en rendre compte dès le premier chapitre de votre livre, par vos fines allusions sur l'enseignement...

Sénèque, un contemporain ?
Cet article est né de la lecture minutieuse de cinq des traités de Sénèque à savoir : De la colère, De la brièveté de la vie, De la tranquillité de l'âme, De la clémence, et De la vie heureuse. Je ne dirai pas qu'il s'agit là de textes dont l'argumentation logique est d'une cohérence impeccable, non c'est avant tout la sincérité de Sénèque qui attire même si quelques-uns pourront y voir une certaine naïveté...

M-Classification.
Dans ce travail, il est plus profitable que dans tout autre de reconsidérer incessamment sous de nouveaux aspects comme étant irrésolues, des questions tenues pour résolues. Ludwig Wittgenstein...

M-classification II 
A première vue, il semble que ce qui donne à la pensée son caractère singulier, c'est qu'il s'agit d'une suite d'états mentaux, et il semble que ce qui est curieux et difficile à comprendre à propos de la pensée, ce sont les processus qui se déroulent dans le medium, processus possibles seulement dans ce medium. Ludwig Wittgenstein

M-classification
1. Intelligence exists. (in Plato's sense)
1.01 For the theory of intelligence quotient, intelligence is an observable. (in Heisenberg's sense)
1.1 Intelligence quotient measures intelligence in the following fields : mathematics, sciences, philosophy and literature.
1.2 The term intelligence in (1) is identified with these in (1.1) via the method of isomorphism. (in Sidis'sense) ...


M-classification III 
La voie que j'ai parcourue est la suivante : l'idéalisme isole du monde des hommes en tant qu'êtres uniques ; le solipsisme m'isole moi seul ; et je vois en fin de compte que j'appartiens moi aussi au reste du monde ; d'un côté, il ne reste donc rien, de l'autre, le monde en tant qu'être unique. Ainsi l'idéalisme, rigoureusement développé, conduit au réalisme. Ludwig Wittgenstein

Sur la généricité de la démonstration de la simplicité des groupes alternés
Dans le cadre de la théorie des groupes finis la notion de simplicité est fondamentale puisqu'elle correspond à la notion de primalité en théorie des nombres. Et elle a conduit à la classification des groupes finis simples dans les années 80. Parmi les familles infinies de la classification nous avons les groupes cycliques premiers qui sont les seuls abéliens, les groupes alternés A n (avec n ¹ 4) et les groupes linéaires spéciaux projectifs...

Sur la notion du groupe d'automorphismes
En parcourant l'étendue du spectre de la théorie des groupes ne serait-ce que via les groupes d'isométries, les groupes de Galois et les groupes d'homologie, nous ne pouvons manquer de constater le rôle classifiant de celle-ci. Cela provient sans doute de la notion de stabilité et celle de symétrie qui caractérisent l'entité des groupes mais aussi de l'idée que des structures quelconques se laissent toujours "grouper" (au sens d'Evariste Galois)...

Sur les somas de Carathéodory et les hypergroupes de Marty
Dans nos précédents articles (cf. Posets, Groups and Hypergroups ; L’entité des hypergroupes comme révélatrice de notions mathématiques ; Remarques sur les hypergroupes, la commutativité et la cyclicité ; Sur le caractère global de l’axiome de reproduction ; Sur les hypergroupes rigides ; The Hypergroups of Order 3 ; Remarques sur les groupes, les hypergroupes et les hyperstructures ) nous avons traité les hypergroupes de Marty comme une généralisation des groupes introduits par Galois...

Cryptographie et hypergroupes
Historiquement la cryptographie utilise l’efficacité de la théorie des groupes avant que celle-ci ne soit véritablement créée par Evariste Galois. Une des preuves les plus frappantes de cette affirmation, c’est le chiffre de Blaise de Vigenère. Celui-ci date de 1500 alors qu’il faudra attendre près de trois siècles avant l’invention de la notion de groupe...

Les hypergroupes d'ordre 3
Dans cet article, nous présentons tout d'abord des résultats qui mettent en relation les posets et les P-hypergroupes de Vougiouklis via la notion fondamentale de groupe d'automorphismes. Ensuite nous exploitons cette dernière et des propositions sur la nature des hypergroupes de Marty afin de partitionner, énumérer et classifier les hypergroupes d'ordre 3 qui représentent 3999 entités deux à deux non isomorphes...

Θεωρία Ομάδων και Ολική Προσέγγιση
Η αρχική ιδέα του Ε.Galois που δημιούργησε τη θεωρία ομάδων είναι η ολική προσέγγιση. Με το απαγορετυτικό θεώρημα τουN.Abel, υπήρχε η ανάγκη αλλαγής φάσης με τη γενικότερη έννοια όσον αφορά στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων. Η μη ύπαρξη ενός γενικού αλγόριθμου ανάγκασε τον Ε.Galois να κοιτάξει και να εξετάσει ειδικές περιπτώσεις για να εξηγήσει τις φαινομενικές διαφορές...

Evariste Galois et Frédéric Marty : créateurs des groupes et des hypergroupes
Sans même rechercher systématiquement des points similaires entre Evariste Galois, le créateur de la théorie des groupes et Frédéric Marty, le créateur de la théorie des hypergroupes, nous ne pouvons manquer de remarquer des points communs. En effet, tout d’abord, ils sont tous les deux français, mais cela pourrait être la conséquence de l’œuvre de l’un pour inciter l’activité de l’autre...

De la faible associativité à la puissance des Hv-groupes
Dans la théorie des groupes et des hypergroupes, il est parfois difficile de saisir le caractère innovant d'un théorème sauf si ce dernier représente l'aboutissement de travaux de générations de mathématiciens comme celui de la classification des groupes sporadiques. Néanmoins la création des groupes proprement dits qui est due à Evariste Galois et celle des hypergroupes qui est due à Frédéric Marty constituent objectivement de véritables innovations dont nous ne mesurons pas encore toutes les conséquences, et ce particulièrement pour la seconde...

Sur le diagramme historique de la notion de groupe abstrait
Contrairement à ce que l’on pourrait penser la notion de groupe abstrait i.e. l’axiomatique du groupe, n’a pas été évidente à mettre en place. Nous avons une approche fragmentaire de la part d’Abel avec des résultats malheureusement posthumes. Puis une approche très concrète de la part de Galois mais même ce dernier et ce, dans l’ensemble de ses travaux ne donne jamais la définition de la notion de groupe. Comme si elle allait tellement de soi qu’il n’était pas nécessaire de la formuler...

Hypergoupes de Marty et hypergroupes de Moufang
A partir de la théorie des groupes de Galois, nous pouvons généraliser la notion d’élément neutre via la méthodologie de Frédéric Marty qui met en évidence l’axiome de reproduction et en lui rajoutant l’associativité, nous pouvons construire l’ensemble de ce que nous appelons désormais les hypergroupes de Marty...

Sur les propriétés de groupes des hypergroupes de Moufang
Comme l’indique, à juste titre d’ailleurs, Smith, le point le plus mature dans la théorie des loops, c’est l’étude des Moufang loops ou des hypergroupes de Moufang. Ces derniers semblent a posteriori être des intermédiaires entre les groupes de Galois et les hypergroupes de Marty...

The Hv-groups and Marty-Moufang Hypergroups (with R. Bayon) 
We partition, enumerate and classify Hv-groups of order 2 (20) and 3 (1.026.462) as well as abelian Hv-groups of order 4 (8.028.299.905), thus generalizing Migliorato and Nordo results on hypergroups, and Choi and Chung results on minimal Hv-groups. Then, after introducing the Marty-Moufang hypergroups that algebraically generalize Marty’s hypergroups and Moufang’s loops, we enumerate those of order 2 (10) and 3 (96.058). Finally we interpret our results via the posets theory and their circle inclusion representation in specific cases...

Οπτικοποίηση δίχως εικόνα
Τα οπτικά μαθηματικά δεν εμπεριέχουν απαραίτητα εικόνες. Η οπτικοποίηση είναι μια αφαιρετική διαδικασία που δεν κάνει χρήση της εικόνας με την κλασική έννοια αλλά του νοητικού σχήματος της εικόνας. Ένα ενδεικτικό παράδειγμα αυτής της χρήσης είναι η επεξεργασία των ριζών ενός πολυωνύμου. Πιο συγκεκριμένα, η έννοια της ρίζας και όχι μίας ρίζας είναι το υπόβαθρο του νοητικού σχήματος...

Schémas en théorie des hypergroupes
La généralisation des groupes en hypergroupes par Frédéric Marty permet d’étudier de nouveaux schémas. En effet via la méthodologie de Alexandre Grothendieck, nous pouvons examiner quelles sont les structures qui supportent la généralisation. Cependant ces structures peuvent être des théorèmes comme nous l’avons démontré dans nos précédents articles. Ainsi un théorème comme celui de Lagrange ne peut supporter la généralisation. Pourtant ce qui est encore plus important car cette fois il s’agit d’une procédure constructive c’est que certaines structures peuvent apparaître à la suite d’une généralisation...

Από το αόριστο στο ορισμένο ολοκλήρωμα
Έστω και αν είναι φυσιολογικό, διότι είναι μία ιστορική προσέγγιση, να παρουσιάζουμε πρώτα τα ορισμένα ολοκληρώματα και ύστερα μόνο τα αόριστα ολοκληρώματα, γνωστικά το αντίστροφο είναι πιο αποτελεσματικό. Αυτό θα προσπαθήσουμε να δείξουμε σε αυτό το άρθρο...

L’esprit galoisien
Pour saisir la nature de l’esprit galoisien ou pour être plus précis, le sens que nous donnons à cette expression, il est nécessaire d’examiner le théorème d’Abel sur la non résolubilité par racines des équations polynomiales de degré strictement supérieur à quatre. Ce théorème est l’aboutissement d’une recherche mathématique qui a traversé les siècles...

Περί μαθηματικής μεθοδολογίας του Κ. Καραθεοδωρή
Όταν εξετάζουμε διαχρονικά το έργο του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή παρατηρούμε μερικά μεθοδολογικά χαρακτηριστικά που δίνουν ενδείξεις όχι μόνο για την τεχνογνωσία του αλλά και ως ένα βαθμό για τον τρόπο σκέψης. Η ιστορική προσέγγιση της μαθηματικής εξέλιξης είναι χαρακτηριστική και ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα. Στους τομείς των μερικών διαφορικών εξισώσεων και του λογισμού μεταβολών, η προσέγγισή του είναι πράγματι ιδιόμορφη...

Η ανθρώπινη μονομαχία (ποίημα)
Η επανάσταση δεν πέθανε. 
Δεν λύγισαν οι ομάδες σου...


Το πιστόλι και το μέτωπο (ποίημα)
Σημάδεψε την καρδιά σου 
η άπονη κοινωνία του φθόνου 
μα δεν μπόρεσε να λαβώσει..


Ιστορική προσέγγιση της θεωρίας του Galois
Θα ασχοληθούμε με τη Θεωρία Ομάδων. Όμως, το να ασχοληθούμε απλώς και μόνο τυπικά με τη Θεωρία Ομάδων δεν αρκεί. Ένα πράγμα που θέλω να μελετήσουμε μαζί είναι να πάρουμε το χειρόγραφο του Galois, το οποίο είναι στα γαλλικά, να το κοιτάξουμε και να προσπαθήσουμε να σκεφτούμε τι θα κάναμε αν εμείς ήμασταν στα 1832 και έπεφτε στα χέρια μας...

Απόσπασμα επιστολής του Evariste Galois στον Auguste Chevalier (Φυλακή Αγίας Πελαγίας, Μάιος 1831)


Extrait d'une lettre d'Evariste Galois adressée à Auguste Chevalier, de la prison Sainte-Pélagie, mai 1831.


Επιστολή του Evariste Galois στους Napoléon Lebon και Vincent Delaunay


Lettre d'Evariste Galois adressée aux Napoléon Lebon et Vincent Delaunay


Επιστολή του Evariste Galois στον Πρόεδρο της Ακαδημίας Επιστημών Παρισίων


Lettre d'Evariste Galois adressée au Président de l'Académie des Sciences de Paris


Μαθηματικός συμβολισμός και συμβολή του Galois


Μελέτη των χειρογράφων του Galois


Η παράξενη παρέα (διάλογος)
- Γιατί δεν πίνεις; 
- Δεν θέλει να ξεχάσει τίποτα. 
- Εσύ θα ξεχάσεις; ...


Hommage à Galois (Feutre sur carnet Moleskine)


Το κλειδί του Παύλου και το σώμα του Galois
Ο δράκος δεν είχε εμφανιστεί.
Τουλάχιστον αυτό πίστευαν.
Θα χρειαζόταν εβδομάδες για να συνειδητοποιήσουν ότι ήταν πλέον μαζί τους...


Souvenir d'Evariste (poème)
Il fallait continuer à écrire 
comme si cela était un devoir... 


Ενθύμιον του Εvariste (ποίημα)
Όφειλε να συνεχίσει να γράφει
ως νά ’ταν τούτο ένα καθήκον...







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