Leonardo da Vinci et la quadrature du cercle

N. Lygeros

Dans le manuscrit de Windsor, Leonardo da Vinci a noté le paragraphe suivant :
« 1509, 28 avril.
Ayant cherché à carrer l’angle de deux côtés courbes, à savoir l’angle e qui a deux côtés de courbure égale, autrement dit d’une courbure créée par le même cercle : à présent, en l’an 1509, le soir des calendes de mai, j’ai résolu le problème, à dix heures dimanche soir. Je sais donc (comme il est montré au verso de cette page A) que la surface ab, si on l’ôte de sa position et qu’on lui donne la même valeur par rapport à la portion c que le triangle rectiligne dc, correspond exactement au triangle ec ; je l’appellerai le triangle curviligne abd. Voilà pourquoi ce carré du triangle se trouve dans le triangle rectiligne cd. »

Cette erreur d’évaluation est aussi fréquente chez de nombreux quadrateurs qui pensaient que la quadrature du cercle peut être résolue à l’aide d’une approche élémentaire. Cependant, il existe une difficulté intrinsèque à savoir que le nombre π est un nombre transcendant. Ce résultat a été démontré par Ferdinand von Lindermann en 1882. Il s’est appuyé sur la démonstration de l’existence des nombres transcendants par Joseph Liouville en 1884. Aussi en exploitant le théorème de Pierre-Laurent Waitzel, démontré en 1837 qui affirme qu’un nombre réel a est constructible si et seulement s’il existe une suite finie de corps Li tels que :
L0 = Q, Li+1 est une extension quadratique de i et le nombre réel appartient à Ln,
il est possible de démontrer que π n’est pas constructible et donc la quadrature du cercle n’est pas résoluble contrairement à ce que pensait le maître de la Renaissance.