Note sur l'opérateur lagrangien en économie

N. Lygeros




La fonction Marshallienne de la demande exprime la quantité d'un bien qu'un consommateur achètera en fonction du prix et de sa capacité d'achat. Ainsi la fonction Marshallienne provient de la maximisation de l'utilité assujettie à la contrainte budgétaire. Soit la fonction considérée et le budget. L'opérateur lagrangien permet de résoudre ce problème de manière relativement élémentaire car il ramène ce dernier à la résolution d'un système via les dérivées partielles nulles.

et .

En résolvant les deux premières, nous avons : .

Et nous en déduisons via la troisième que : et par symétrie : .

Ce sont ces deux fonctions que nous nommons fonctions Marshalliennes de et . Et ce sont elles qui maximisent la satisfaction du consommateur contraint par les conditions de coût et de budget.

De plus comme : , et
Avec et , nous pouvons définir la matrice et .

 

Ainsi la matrice est définie, négative et donc Uest maximisée. Tout le problème est donc un traitement d'un effet de bord puisque la maximisation revient à ne considérer que les frontières des zones qui apparaissent dans le problème économique. Nous pouvons interpréter ce résultat en disant que toute l'information se trouve sur le squelette topologique de la structure et c'est justement à cet endroit que l'opérateur lagrangien peut exprimer toute sa puissance. Enfin le problème est élémentaire car il est pour une part essentielle linéaire et la maximisation devient optimisation.







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