Sur l'historique des hypergroupes

Ν. Λυγερός




Cette note est le résultat de l'étude des articles de Frédéric Marty intitulés : Sur une généralisation de la notion de groupe et Rôle de la notion d'hypergroupe dans l'étude des groupes non abéliens. Elle a entre autres pour but d'expliciter un point que nous avions mentionné dans notre article intitulé : Sur le caractère global de l'axiome de reproduction. Dans celui-ci nous insistions sur le fait qu'il fallait étendre et approfondir la recherche au-delà des hypergroupes cycliques.

Dans le premier article de Frédéric Marty qui date de 1934, l'auteur mentionne explicitement que c'est sa recherche sur les groupes de fonctions algébriques qui l'a conduit à généraliser la notion de groupe. Après avoir défini le produit de deux fonctions comme la composition, il remarque que si celles-ci ne sont pas toutes deux des fonctions uniformes la composition peut représenter plusieurs fonctions distinctes. L'exemple qu'il considère est d'une part frappant de simplicité d'autre part révélateur du caractère fondamental de la notion d'hypergroupe. L'exemple est le suivant : si et alors comprend +x et -x. Il n'existe pas de mathématicien qui n'ait été confronté à cette difficulté. Cependant c'est à Frédéric Marty que nous devons l'abduction qui a créé les hypergroupes. Ce visionnaire du domaine remarqua que le même type de difficulté apparaît dans la théorie des groupes continus de transformations lorsque nous voulons les prolonger au voisinage d'un point critique algébrique de la transformation.

La construction historique des hypergroupes s'effectue à partir de la notions de division à droite et à gauche (en termes plus modernes, il s'agit de la simplification) qui est reliée à celle de multiplication par le théorème suivant : si l'une au moins des divisions est uniforme, la multiplication est uniforme. De ce résultat, nous déduisons un corollaire qui est classique en théorie des groupes à savoir : si dans un hypergroupe l'une des divisions est uniforme, l'autre est aussi uniforme et l'hypergroupe est un groupe. Ensuite, il entreprend la construction des hypergroupes complètement réguliers qui vérifient la propriété suivante : à chaque élément A on peut associer un élément son inverse tel que E était l'élément neutre, , . De même dans le second article qui date de 1935, il ne se place jamais dans une situation commutative afin d'être le plus générique possible, même s'il généralise la notion d'élément neutre par un système qui le contient sans traiter le cas où il n'existe pas. De plus, il retrouve les principaux lemmes de réduction, isomorphie et homomorphie de la théorie du groupe quotient et des sous-groupes invariants. En quelques pages, il établit tout ce qui est nécessaire pour construire la théorie des hypergroupes sans rechercher pour autant ni la cyclicité, ni la commutativité des nouvelles entités mathématiques. Il opère dans ces articles une abduction fondamentale tout en conservant son objectif principal à savoir traiter les problèmes où apparaissent des fonctions multiformes. Ces dernières forment donc le substrat théorique sur lequel se base la duplicité qui caractérise les hypergroupes.







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