Sur la notion du groupe d'automorphismes

N. Lygeros




En parcourant l'étendue du spectre de la théorie des groupes ne serait-ce que via les groupes d'isométries, les groupes de Galois et les groupes d'homologie, nous ne pouvons manquer de constater le rôle classifiant de celle-ci. Cela provient sans doute de la notion de stabilité et celle de symétrie qui caractérisent l'entité des groupes mais aussi de l'idée que des structures quelconques se laissent toujours "grouper" (au sens d'Evariste Galois). Ce n'est qu'en étudiant des structures plus larges comme celles des anneaux que nous pouvons saisir la profondeur de cette remarque puisque celles-ci ne se laissent définir que dans quelques cas spéciaux. C'est aussi pour cette raison qu'il est important d'approfondir nos connaissances encore élémentaires dans le domaine de la théorie des hypergroupes puisque ces derniers sont d'excellents candidats pour supporter les généralisations possibles.

Donc l'importance des groupes provient de la notion de groupe d'automorphismes. Cette dernière bien qu'"a priori" une famille particulière de groupes représente en réalité le moyen pour les groupes, d'agir sur le monde extérieur en captant une information qui ne représente pas seulement la redondance interne de la structure. Car cette apparente redondance cache justement une structure de groupe puisque cette redondance s'effectue d'une certaine manière. Le groupe d'automorphismes apparaît donc comme la mémoire de la redondance.Cependant, il ne représente pas seulement un rangement mais un mode de rangement.

De plus, sa structure même est plus riche que la simple connaissance du rangement car elle comporte la dynamique de la structure initiale. Le groupe d'automorphismes permet d'appréhender la rigidité de la structure, fait qui nous donne des informations supplémentaires qui peuvent être utiles pour une étude ultérieure et spécifique. Pour des exemples concrets voir nos articles sur les posets, sur les isomères, sur les modèles mixtes et sur les hypergroupes ( Calculs exhaustifs sur les posets d'au plus 7 éléments, Petits posets, dénombrement, représentabilité par cercles et compenseurs, Unimodalité des petits posets, Progrès dans l'énumération des posets, Le nombre de posets à isomorphie près ayant 12 éléments, Posets minimaux ayant un groupe d'automorphismes d'ordre premier, Panorama : Fractals et posets en relativité, Construction de posets dont le groupe d'automorphisme est isomorphe à un groupe donné, Posets, Groups and Hypergroups, Enumeration and 3D-representation of the Stereo-isomers of Paraffinic Molecules, Nouveaux progrès dans l'énumération des modèles mixtes, Enumération de modèles mixtes, L'entité des hypergroupes comme révélatrice de notions mathématiques, Remarques sur les hypergroupes, la commutativité et la cyclicité, Sur la généricité de la démonstration de la simplicité des groupes alternés, Sur les hypergroupes rigides, The Hypergroups of Order 3 ). La puissance de la notion de groupe d'automorphismes provient aussi de l'exploitation qui en a été faite par la théorie de Polya dans le cadre des problèmes énumératifs.

En effet l'exploitation du groupe d'automorphismes d'une structure donnée permet de créer une approche du type fonctions génératrices et par ce biais d'atteindre son substrat sans augmentation de complexité annexe comme s'il s'agissait d'une simple règle de réécriture. Cela n'est pas sans rappeler la notion d'univers clos puisque la stabilité du groupe évite toute action de et du monde extérieur. La notion de groupe d'automorphismes consiste en un redéploiement d'une approche holistique mais intrinsèque à la structure. Via la redondance, le groupe d'automorphismes est aussi un indicateur efficace de la complexité de l'objet donné s'il est croisé avec des informations internes. Ainsi via son caractère générique, le groupe d'automorphismes permet d'atteindre des structures plus complexes que celles des groupes mais dont le comportement interne est de la même nature. Et c'est dans ce sens que nous considérons qu'il s'agit d'une notion centrale en mathématiques et en sciences. Enfin, nous voyons aussi l'émergence de cette notion en philosophie via son caractère catégoriel.







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