Réflexions et conjectures sur la primalité et la congruence

N. Lygeros




A partir du théorème de Dirichlet sur l’infinité de nombres premiers de la forme an+b avec a et b premiers, puis de la conjecture de Hardy qui a été partiellement démontrée par Green et Tao à savoir qu’il existe un k arbitrairement grand de nombres premiers en progression arithmétique et enfin en exploitant le théorème de Cantor qui affirme dans le cas générique que la raison d’une progression arithmétique contenant k nombres premiers doit être congrue à zéro modulo le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à k, nous pensons que nous pouvons aller plus loin encore dans la relation qui relie les nombres premiers à la congruence.

En effet en commençant par les travaux de Lander et Parkin (1967) sur le premier sextuplet de nombres premiers consécutifs puis de Dubner et Nelson (1995) sur le premier septuplet, ainsi que ceux de Dubner, Forbes, Lygeros, Mizony, Nelson et Zimmermann (1997-1998) sur les premiers octuplet, nonuplet et décuplet, nous pouvons constater que les nombres premiers obtenus appartiennent à la congruence minimale du théorème de Cantor aussi il est tentant de conjecturer que c’est toujours le cas comme le suggère l’équirépartition des nombres premiers selon la congruence.

Conjecture B : Il existe k nombres premiers consécutifs en progression arithmétique tels que la raison de celle-ci soit le produit des nombres premiers inférieurs ou égaux à k.

Plus généralement, toujours en suivant la même idéologie :

Conjecture A : ∀a/a≡0[Πp≤Kp], ∃K nombres premiers consécutifs en progression arithmétique de raison a.

Et afin de faire le lien avec la partie démontrée de la conjecture de Hardy :

Conjecture C : Pour k arbitrairement grand, il existe k nombres premiers consécutifs en progression arithmétique.

Ainsi nous avons un enchaînement de conjectures qui relie la congruence à la primalité :

Conjecture de Hardy (Théorème de Green-Tao) ← Conjecture C ← Conjecture B ← Conjecture A.

Enfin dans le cadre de cette idéologie nous pouvons inclure les résultats obtenus sur les champions sauteurs qui contribuent à leur manière en transformant l’existence en abondance.







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