Solides d’Archimède et catégories structurelles

N. Lygeros




L’examen des solides d’Archimède en tant que tels a peut-être un sens historique ou épistémologique mais en aucun cas mathématique. Car leur caractérisation en tant que polyèdres convexes semi-réguliers ne permet pas d’identifier les schémas mentaux qui les construisent. Il est préférable dans un premier temps, de considérer les cinq solides platoniciens à savoir le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. Ensuite, nous établissons que ces derniers sont bien les seuls polyèdres réguliers convexes grâce à une démonstration topologique basée d’une part sur le fait élémentaire que toute arête représente la partie commune de deux faces et relie deux sommets, et d’autre part sur la formule d’Euler S+F-A=2 qui découle de la caractéristique de la sphère. Ce fait étant établi, nous pouvons alors utiliser l’approche de Wythoff pour construire les solides d’Archimède à partir des cinq solides platoniciens. Cette technique est une construction kaléidoscopique qui exploite les quatre positions de la barre du symbole de Wythoff. En réalité ce procédé revient à effectuer un pavage sphérique. C’est entre autres pour cette raison que ce symbole est fonctionnellement semblable au diagramme de Coxeter-Dynkin. De cette manière nous obtenons les treize solides d’Archimède à isomorphie près quant à la chiralité. Nous avons donc : le tétraèdre tronqué, le cube tronqué, l’octaèdre tronqué, le dodécaèdre tronqué et l’icosaèdre tronqué qui sont directement le résultat de la section des sommets des solides platoniciens. Ensuite nous avons aussi le cuboctaèdre, le cuboctaèdre adouci, l’icosidodécaédre et icosidodécaèdre adouci. Enfin nous avons le petit rhombicuboctaèdre, le grand rhombicuboctaédre, le petit rhombicuboctaèdre, le petit rhombicosidodécaèdre et le grand rhombicosidodécaèdre. Les duaux des solides d’Archimède, à savoir le cuboctaèdre adouci et le icosidodécaèdre adouci sont des solides de Catalan. Ce même type de procédé de construction permet d’obtenir les solides de Kepler-Poinsot qui sont les polyèdres étoilés réguliers. Ils sont au nombre de quatre : le petit dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre étoilé, le grand dodécaèdre et le grand icosaèdre. De façon plus générale mais toujours dans le même cadre structurel, nous pouvons trouver les 92 solides de Johnson découverts en 1966. Zalgaller a démontré en 1969 que cette liste est complète. Les solides de Johnson correspondent à des polyèdres strictement convexes dont chaque face est un polygone régulier qui sont différents des solides platoniciens, des solides d’Archimède, des prismes et des antiprismes. Ainsi nous avons une hiérarchie structurelle qui représente d’une part, un ensemble muni d’un ordre partiel mais aussi une formalisation de ce que nous pouvons réaliser de manière intuitive puisque nombre de ces solides se construisent par assemblages de coupoles, rotondes et pyramides sur des faces de solides platoniciens, des solides d’Archimède, de prismes ou d’antiprismes. Ainsi les solides d’Archimède apparaissent comme des générateurs alors que les solides platoniciens sont des germes. A partir des solides d’Archimède nous pouvons comprendre le processus d’engendrement de ces objets géométriques et entrevoir la relation structurelle qui existe entre eux. Dans ce sens, les solides d’Archimède contribuent à la compréhension d’un processus de construction mathématique plus profond que la simple donnée des germes. Nous observons donc une différence cognitive qui permet de distinguer les germes terminaux qui sont les solides platoniciens des générateurs initiaux que sont les solides d’Archimède. Cela met en évidence le schéma mental de l’opposition entre le statique et le dynamique.







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