Commentaires de C. Carathéodory sur les Leçons sur le calcul des variations de J. Hadamard

N. Lygeros




Les leçons sur le calcul des variations ont été professées par Jacques Hadamard au Collège de France et recueillies par Fréchet. Selon Constantin Carathéodory, elles représentent un livre qui fera date dans l'histoire de ce domaine de l'Analyse. Le point primordial pour saisir l'esprit de ce livre, c'est la remarque de Carathéodory quant au positionnement de cette théorie dans l'analyse. Il estime qu’à l'époque le calcul des variations étant considéré comme le dernier mot du calcul infinitésimal. Alors que le livre d'Hadamard  vient renforcer une nouvelle tendance, à savoir considérer cette théorie comme l'une des bases du calcul fonctionnel. Selon Carathéodory, l'ouvrage de Hadamard est le premier où cette idée dans l'air du temps est examinée et étudiée dans ses diverses conséquences. Ainsi nous nous retrouvons dans l'histoire des mathématiques à un moment clef. Aussi l'analyse détaillée de Carathéodory est d'autant plus nécessaire. Il aborde tout d'abord le problème de la fonction fonctionnelle en généralisant convenablement la définition des fonctions ordinaires. Il utilise pour cela la définition de Dirichlet, à savoir qu'une fonction est définie par un certain ensemble de valeurs de la ou des variables lorsqu'à chaque point de l'ensemble en question situé dans un espace à une ou plusieurs dimensions, correspond un nombre bien déterminé, tandis qu'une fonctionnelle est définie par la correspondance de chaque élément d'un certain ensemble de fonctions, avec un nombre bien déterminé. L'ensemble initial peut être constitué de courbes ou de surfaces. Cependant, cette définition malgré sa facilité pose un véritable problème de point de vue quant à la notion du champ fonctionnel. Pour le montrer explicitement Carathéodory considère l'exemple suivant:



qui définit la longueur d'un arc de courbe. Dans un premier temps, il utilise une intégrale de Riemann qui suppose certaines conditions quant à la définition. De là, il en déduit un champ fonctionnel qu'il nomme K. Ensuite il met la même intégrale sous forme paramétrique.



 Or cette fois, en considérant la notion de Lebesgue pour que l'intégrale soit définie, certaines conditions ne sont plus nécessaires. Aussi le champ fonctionnel K’ est plus vaste que le précédent et même il le contient puisque chaque arc de courbe satisfaisant les premières conditions satisfaisant aussi les secondes. Aussi Carathéodory conclut son raisonnement en précisent qu'un même problème du Calcul fonctionnel peut conduire à des champs fonctionnels très différents. Il faut donc le définir à chaque fois avec beaucoup de soin. Ceci est une nouveauté puisque dans le cas des fonctions ordinaires, la notion d'intervalle est généralement suffisante.  Il existe une difficulté analogue lorsqu'il s'agit d'étendre les méthodes du calcul infinitésimal au calcul fonctionnel. C'est pour cette raison que Carathéodory reprend les définitions de voisinage et de continuité pour montrer combien elles sont peu intuitives, lorsque nous les plaçons dans le cadre du calcul fonctionnel. Il aborde ensuite la variation pour définir enfin le problème du calcul des variations.







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