Des singularités à la structure via le modèle

N. Lygeros




En heuristique, il est naturel de rechercher les singularités d’une structure et étudier celle-ci via un modèle. Cette tendance est confortée par les variétés riemanniennes et plus généralement la topologie. Seulement cela ne représente pas un concept théorisé mais plus une tendance. Il est préférable donc de l’analyser comme un outil stratégique capable parfois de donner une solution. Il s’agit donc bien d’une heuristique qui ne peut être totalement mathématisée en raison de l’existence d’entités géométriques qui ne supportent pas cette approche. Certes il est fondamental de connaître le squelette combinatoire d’une structure géométrique mais cela ne signifie pas pour autant qu’elle est suffisante à sa description. Car la structure n’est pas nécessairement isomorphe comme dans le cas d’une réécriture. Ainsi un transport de structure qui est par nature un isomorphisme ne permet pas nécessairement de mieux résoudre un problème donné à moins qu’il permette une équivalence avec un problème donné. Dans tous les cas la réécriture représente le paradigme d’un modèle qui répond à tous les critères requis sans pour autant être hiérarchiquement et cognitivement supérieur aux règles syntaxiques initiales. En d’autres termes, nous restons dans le domaine syntaxique sans atteindre la sémantique ou la pragmatique. Ce modèle est strictement informatif sans être cognitif. Il n’a donc pas d’apport heuristique. Du point de vue logique, il est équivalent à une tautologie qui ne peut aboutir qu’à un truisme du point de vue philosophique.

Le passage de singularités à la structure via le modèle nous amène à une problématique de la théorie des représentations. Et ainsi nous voyons apparaître la notion fondamentale de groupe d’automorphismes. En effet l’ensemble des règles que constituent les singularités n’engendre pas nécessairement un seul modèle. Et ces derniers ne sont pas nécessairement isomorphes car la restriction de l’un d’entre eux peut être suffisante pour établir un isomorphisme avec un autre modèle. Ceci est visible même au niveau historique avec l’intégrale de Lebesgue qui via l’apport de Carathéodory a constitué le substrat de la théorie de la mesure. Les mêmes contraintes peuvent engendrer deux modes de pensée différents car ces derniers sont avant tout herméneutiques. Nous avons le même phénomène avec la théorie de la mécanique quantique orthodoxe et la théorie de la ramification. Nous observons donc une asymétrie. Il est certes possible de caractériser une structure pour ces singularités lorsque cette structure est donnée et connue dans son ensemble. Seulement comment conclure sur le caractère suffisant des singularités pour reconstruire la structure. Encore une fois, nous avons l’action d’un système projectif qui affecte l’information. De manière générale nous nous retrouvons dans l’opposition entre le locale et le global. Une approche locale même si elle comporte une information infinie ne suffit pas pour être considérée comme une information globale. Or les singularités représentent une caractéristique locale de la structure. Il nous faut monter au rang des anomalies pour parvenir à une information de nature globale. Ceci explique aussi que l’heuristique ne puisse pas être considérée comme une méta-mathématique mais bien une stratégie mentale.







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