Από την ανακάλυψη του απείρου στις αποκαλύψεις του απείρου

N. Lygeros




Η μεγάλη αλλαγή φάσης όσον αφορά στη μαθηματική αντίληψη του απείρου, έγινε με τη ριζοσπαστικά προσέγγιση του Cantor. Πριν, το άπειρο ήταν ουσιαστικά ένα όριο, μια τελεολογία δίχως οντολογία. Ενώ ο Cantor του έδωσε την πραγματική του διάσταση εξηγώντας ότι το άπειρο υπάρχει αλλά και ότι υπάρχουν άπειρα άπειρα. Με τη μέθοδο που φέρει τώρα το όνομά του, απέδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι ουσιαστικά μεγαλύτερο από το σύνολο των φυσικών αριθμών και δεν είναι απαριθμήσιμο. Έτσι δημιούργησε και τη θεωρία των πληθαριθμών, η οποία επιτρέπει πλέον την προσέγγιση του Shröder – Bernstein. Όμως η συμβολή του Cantor προέρχεται και από την εισαγωγή της ιεραρχίας μέσω των πολυωνύμων που ταξινομεί τους πληθάριθμους. Αυτή η μεθοδολογία οδήγησε στην υπόθεση του συνεχούς και στη διαμάχη με τον Dedekind. Η σημασία της υπόθεσης του συνεχούς ξεπέρασε μάλιστα τον κόσμο των μαθηματικών για να εισχωρήσει στον κόσμο της μεταμαθηματικής. Η υπόθεση του συνεχούς που εκφράζεται και ως εξής : ο πληθαριθμός των πραγματικών αριθμών είναι Aleph 1, δεν είναι μια κλασική ιδέα όπως το απέδειξε και το έργο του Gödel και η περίφημη απόδειξη του Cohen. Διότι η πρόσθεση της υπόθεσης του συνεχούς ή της άρνησης της στην αξιωματική θεωρία του Zermelo–Fraenkel δεν αλλάζει τίποτα. Είναι η πρώτη φορά που στα κλασικά μαθηματικά η αυτοαναφορική προσέγγιση του Gödel έχει σοβαρές επιπτώσεις και δεν παραμένει στο χώρο της λογικής. Εκ των υστέρων έχουμε και το θεώρημα του Μatiajevic αναφορικά με την επίλυση των διοφαντικών εξισώσεων. Ας επανέλθουμε όμως στο αποτέλεσμα της μεθόδου Forcing του Cohen. Η υπόθεση του συνεχούς ανήκει στις αναποφάσιστες προτάσεις. Εδώ και πάλι αντιλαμβανόμαστε ότι η οντότητα του απείρου είναι πολυπλοκότερη και δεν μας επιτρέπει μια απλοϊκή προσέγγιση. Παραδείγματος χάριν, η απόδειξη της υπόθεσης του συνεχούς, η οποία είναι συμβατή με τα αξιώματα Ζermelo-Fraenkel παράγει εξωτικές λύσεις. Έτσι η πολυπλοκότητα μετατρέπεται σε πολυμορφία που επηρεάζει τη μαθηματική μας αντίληψη όχι μόνο του απείρου αλλά και των ιδεών των μαθηματικών. Το ίδιο ισχύει και με το αξίωμα της επιλογής που εξηγεί το περίφημο θεώρημα του Βanach – Τarski , το οποίο λέει ότι υπάρχει τρόπος να κόψεις μια σφαίρα γεμάτη ακτίνας ρ και μάζας μ, με τέτοιο τρόπο, έτσι ώστε η συναρμολόγηση των κομματιών να παράγει δύο σφαίρες γεμάτες με την ίδια ακτίνα και την ίδια μάζα. Αυτό ενισχύει την ιδέα του Ζήνωνα. Ο Ευκλίδειος χώρος είναι πολυπλοκότερος σε σχέση με το φυσικό χώρο διότι επιτρέπει περισσότερες ιδιότητες διότι ενσωματώνουν το άπειρο σε όλες τις εκφράσεις του και όχι με περιορισμένο τρόπο. Σε αυτή τη νέα φάση το άπειρο είναι μια δημιουργική οντότητα και όχι μόνο ένα όριο. Η ύπαρξη του επηρεάζει τη θεωρία των συνόλων, την τοπολογία αλλά ακόμα και τη θεωρία των αποδείξεων. Έτσι το άπειρο από άτοπο και παράδοξο έγινε ουσιαστικό και δημιουργικό.







free counters


Opus