Η συμβολή του άπειρου στην εξέλιξη των μαθηματικών (με Α. Λιπορδέζης)

Α. Λιπορδέζης, Ν. Λυγερός




Η ανακάλυψη του μαθηματικού φορμαλισμού από τους Αρχαίους Έλληνες τους επέτρεψε να συναντήσουν την έννοια του απείρου. Δίχως φόβους και φοβίες, οι μαθηματικοί της αρχαιότητας μελέτησαν αυτήν την οντότητα, ανέλυσαν μερικές από τις ιδιότητές της και τις εφάρμοσαν σε θεωρητικό επίπεδο, για να κατανοήσουν την πραγματικότητα μέσω της επινόησης της μοντελοποίησης. Ένα από τα χαρακτηριστικά παραδείγματα της συμβολής του απείρου στην εξέλιξη των μαθηματικών είναι τα παράδοξα του Ζήνωνα του Ελεάτη. Η απλοϊκή τους ερμηνεία από μη μαθηματικούς επέτρεψε δυστυχώς επιστημολογικές παρερμηνείες με αποτέλεσμα να θεωρούν μερικοί από τους ιστορικούς των μαθηματικών ότι οι Αρχαίοι Έλληνες δεν αντιμετωπίζουν σωστά την έννοια του απείρου λόγω άγνοιας τους στον τομέα της σύγκλισης μίας δυναμοσειράς. Στην πραγματικότητα, τα παράδοξα του Ζήνωνα δεν μας μεταφέρθηκαν αυτούσια και άμεσα από την αρχαιότητα αλλά με την κριτική και τις παρατηρήσεις του Αριστοτέλη που είχε ελάχιστες γνώσεις στα μαθηματικά και δεν κατανόησε την ανακάλυψη του Ζήνωνα. Η συμβολή του Ζήνωνα είναι η εξής: ο χώρος της πραγματικότητας δεν μπορεί να μοντελοποιηθεί με τους πραγματικούς αριθμούς. Η χρήση αυτών των αριθμών δημιουργεί τα λεγόμενα παράδοξα. Ένα από τα πιο βασικά παράδοξα του Ζήνωνα είναι ισόμορφο στο εξής μοντέρνο ερώτημα: «ποιος είναι ο επόμενος πραγματικός αριθμός που είναι μεγαλύτερος του μηδενός;». Αν και το ερώτημα είναι φαινομενικά απλοϊκό, είναι μόνο απλό διότι δεν υπάρχει απάντηση. Αυτή η μη ύπαρξη της απάντησης προέρχεται από μια ιδιότητα του συνόλου των πραγματικών αριθμών, η οποία είναι η μη απαριθμησιμότητα. Μέσω αυτής της ανάλυσης αντιλαμβανόμαστε ότι ο Ζήνωνας απέδειξε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών ως μοντέλο είναι πιο ισχυρό από την πραγματικότητα του χώρου και κατά συνέπεια επιτρέπει ιδιότητες που δεν έχει ο φυσικός χώρος. Δεν αποτελεί μια φοβία ή ένα φόβο του απείρου εκ μέρους των Αρχαίων Ελλήνων. Αντιθέτως, συνέλαβαν πιο αποτελεσματικά τα χαρακτηριστικά του και κατανόησαν τα όρια της μοντελοποίησης μέσω αυτού του μαθηματικού εργαλείου. Με μια πιο μοντέρνα γλώσσα θα λέγαμε ότι το άπειρο απορροφά ιδιότητες του πεπερασμένου. Με άλλα λόγια εκφυλίζει την έννοια των ορίων. Κατά συνέπεια πρέπει να είμαστε προσεχτικοί στη χρήση του, όταν μοντελοποιούμε την πραγματικότητα Οι Αρχαίοι Έλληνες όχι μόνο επινόησαν την έννοια του απείρου και κατανόησαν μερικές από τις ισχυρές ιδιότητες του αλλά αντιλήφθηκαν επιπλέον και τα όριά του. Αυτό καταδεικνύει και το εύρος της γνώσης τους. Διότι αν τα μαθηματικά είναι τόσο ισχυρά νοητικά σχήματα αλλά και ως γνωστικά εργαλεία, είναι επειδή γνωρίζουν τις αδυναμίες τους. Όπως και η γνώση της μη πληρότητας ενός συστήματος κατά Godel μας επιτρέπει να έχουμε βαθμούς ελευθερίας στην αξιωματική μας επιλογή. Οι Αρχαίοι Έλληνες ξεπέρασαν τις τεχνικές δυσκολίες και ανακάλυψαν την τέχνη του απείρου.







free counters


Opus