L’esprit galoisien

N. Lygeros




Pour saisir la nature de l’esprit galoisien ou pour être plus précis, le sens que nous donnons à cette expression, il est nécessaire d’examiner le théorème d’Abel sur la non résolubilité par racines des équations polynomiales de degré strictement supérieur à quatre. Ce théorème est l’aboutissement d’une recherche mathématique qui a traversé les siècles. Il a permis aux mathématiciens de réaliser les limites de la résolution par radicaux. Aussi c’est un théorème qui est essentiellement terminal. Il représente le résultat le plus général possible quant à cette célèbre question. Il affirme l’inexistence d’un algorithme général de résolution. Or nous pourrions croire qu’il ne reste plus rien à faire dans le domaine de cette résolution. Pourtant l’esprit galoisien nous démontre le contraire. En effet Evariste Galois ne s’est pas contenté du résultat de Niels Abel qui est pourtant un sommet dans le domaine. L’apport de Galois peut être interprété comme celle de l’effectivité. Ayant connaissance du cas général, il désire savoir s’il est possible de fouiller encore plus loin dans les équations polynomiales. Il adopte donc un autre point de vue qui consiste à explorer le possible et non le général. Ainsi il ne recherche pas une méthode générale mais une méta-méthode générale. Dans ce nouveau cadre, il n’est pas nécessaire d’utiliser le même algorithme tandis que la même méthodologie est amplement suffisante pour recouvrir tout l’espace de recherche. L’esprit galoisien consiste donc à découvrir des outils qui permettent d’aller plus loin que le cas général même lorsque tout le monde pense que tout a été traité. Il ne s’agit donc pas de la méthodologie de Grothendieck qui demeure classique dans le sens des mathématiques cognitives. L’esprit galoisien exploite le méta afin de libérer la méthodologie strictement mathématique. Ce qui ne veut pas dire pour autant qu’il n’exploite pas des outils mathématiques. Comme nous l’avons vu dans cet exemple générique, l’introduction de ce que nous appelons désormais le groupe de Galois permet de traiter de manière spécifique des cas inaccessibles par un algorithme général. Il change sans cesse de tactique alors que la stratégie est la même. Il déplace donc l’invariant. Celui-ci ne se trouve plus au niveau tactique mais au niveau stratégique. Il acquiert donc de la puissance par la montée en abstraction. Néanmoins ce n’est pas une abstraction au sens de Artin. Celle-ci est effective et donc tout à fait exploitable et ce, même de manière concrète. L’accessibilité représente une donnée fondamentale dans l’esprit galoisien. C’est en ce sens là que nous pouvons parler d’effectivité. Cet état d’esprit est d’autant plus nécessaire de façon globale en mathématiques en raison de l’existence du théorème d’incomplétude de Gödel. L’esprit galoisien ne permet pas de l’éviter ou de le contourner mais de l’exploiter. Dans le cadre d’une interdiction globale, une approche locale ne peut obtenir que des résultats partiels. Tandis qu’une approche holistique, en déplaçant l’invariant cognitif permet non seulement d’exploiter l’interdiction globale mais surtout d’aller plus loin en utilisant cette existence. Comme l’existence ne peut être modifiée, il est plus efficace de la gérer et de la mettre en avant plutôt que de persister à vouloir la contourner pour l’effacer. L’esprit galoisien a valorisé le théorème d’Abel bien plus que les autres approches qui désiraient l’éviter.







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