Les hyperanneaux duaux d'ordre 3

R. Bayon, N. Lygeros




A la suite de notre énumération des hyperanneaux d’ordre 2 [voir opus 2067] nous pouvons désormais grâce au même algorithme annoncer nos résultats sur l’énumération des hyperanneaux d’ordre 3. Comme ceux-ci sont considérablement plus nombreux nous avons préféré mettre en évidence la contribution spécifique de la distributivité forte en particulier pour la problématique de l’ordre du groupe d’automorphismes.

Dans un premier temps, nous avons généré les hyperanneaux d’ordre 3 construits à partir d’un hypergroupe pour la loi (+) et de même pour la loi (×). En d’autres termes, il s’agit des hyperanneaux duaux étudiés par Dramalidis et Vougiouklis. Dans un second temps, nous avons généré les hyperanneaux d’ordre 3 construits à partir d’un Hv-groupe pour la loi (+) et de même pour la loi (×). Cette fois encore il s’agit d’hyperanneaux mais plus au sens strict de Marty mais au sens large de Vougiouklis. De plus, la distributivité est elle aussi faible.

Ce qui est remarquable dans les deux cas que nous avons traités, c’est que les hyperanneaux duaux ont tous un groupe d’automorphismes associé à l’ordre maximal. Ce résultat s’explique par le fait que les hyperanneaux duaux aussi bien au sens de Marty que de Vougiouklis oblige la symétrie des sous-structures qui sont respectivement des hypergroupes et des Hv-groupes. Et c’est cette symétrie qui rend maximale la symétrie du groupe d’automorphismes. Cette restriction de l’ordre du groupe de symétrie prouve que l’approche des hyperanneaux duaux ne peut mener qu’à des résultats qui sont, par définition, extrêmement partiels. A l’instar de l’utilisation de l’élément neutre pour faciliter certaines énumérations manuelles, l’utilisation de la dualité semble plus un artifice qu’une réalité profonde des hyperanneaux. Certes il s’agit d’une catégorie particulièrement intéressante en soi mais seulement en soi puisque même pour la problématique de l’ordre du groupe d’automorphismes associé, elle ne peut contribuer à l’obtention d’un résultat global. Notre programme d’énumération ne permet pas seulement d’obtenir des résultats sur les hyperanneaux duaux à l’ordre 3. Sa structure est par essence générique. Nous n’avons voulu que mettre en évidence les restrictions structurelles qu’engendre le choix de la dualité comme notion caractéristique des hyperanneaux. Nos résultats énumératifs montrent clairement que ce n’est pas le cas, indépendamment de la distributivité forte ou faible. Car cette dernière ne permet pas de faire des distinctions quant à la symétrie de la structure globale. Autre principal intérêt de cette catégorie d’hyperanneaux, c’est que l’existence de résultats mathématiques indépendants peut donner un certificat à notre algorithme.







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