Modélisation quadratique d’une surface

N. Lygeros




Une manière relativement robuste pour modéliser une surface, c’est de l’approximer par une conique de la forme :

 .

Cette équation permet de calculer au point  ,  , la pente  ,  la direction  ,   la courbure  du profil        ainsi que la courbure du plan  .   

Cette technique initialement basée sur la généralisation de la notion de tangente est plus puissante puisqu’elle permet de tenir compte des termes non linéaires. Aussi elle peut être interprétée comme une approximation à l’ordre 2 du développement de Taylor. Son intérêt principal consiste en la possibilité de l’appliquer à des surfaces discrètes. Dans ce cadre, il est aussi possible d’exploiter la méthode de Evans avec les neuf points de mesure pour définir un carré élémentaire. Ce cas peut alors être traité par la méthode des moindres carrés. Il est aussi possible d’utiliser la généralisation de Wood qui gère des carrés élémentaires d’ordre impair. L’avantage de celle-ci, c’est de permettre un choix de l’échelle de visualisation. Ce choix évite d’avoir à mettre en place un filtre pour bruit à hautes fréquences. En d’autres termes, cela rend la série de Taylor complémentaire à la méthode de Monte Carlo. Un autre avantage que possède la modélisation quadratique, c’est l’introduction d’une matrice pondérée. Celle-ci munie d’une fonction de type gaussien s’adapte à l’échelle de visualisation. Dans cette application, en raison de la régularité du modèle, une seule inversion de matrice est nécessaire. En combinant cette possibilité avec le choix de la taille de la fenêtre de visualisation, nous pouvons effectuer des calculs récursifs peu coûteux car l’emboîtement des fenêtres est permis par le modèle. Ceci, entre autres, explique la stabilité remarquable des résultats du modèle quadratique. En effet, le choix de surfaces d’ordre plus élevé comme les quartiques par exemple, est extrêmement sensible aux mesures initiales et n’est donc possible que pour des mesures extrêmement précises ou strictement mathématiques. Alors que pour des applications, il est nécessaire d’avoir la propriété de robustesse. Cela met en exergue la problématique de la propagation des erreurs dans le cas de choix successifs de fenêtres de visualisation. En effet, comme l’approche est multi-locale et non globale, la possibilité d’extraire des informations globales n’est a priori possible que pour des surfaces relativement lisses. Néanmoins le changement d’échelle, comme dans le cadre plus général des multifractals, offre la possibilité d’échapper à certains types d’obstacles calculatoires. Malgré tout, dans des cas spécifiques, la modélisation quadratique peut engendrer des phénomènes intrinsèques qui ne sont pas dus à la surface étudiée mais à l’approche de l’algorithme. Ceci implique qu’il faut obtenir un choix optimal de la taille de la fenêtre de visualisation, d’où la nécessité d’un algorithme dynamique et heuristique de type algorithme génétique.







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