Une approche didactique des sections coniques

N. Lygeros




Dans le cadre d'un séminaire que nous avons effectué en Thrace, nous avons été amené à traiter des sections coniques. Plus précisément, il s'agissait de faire l'introduction de ce cours à un groupe de lycéens grecs spécialement choisi pour cette occasion. Comme l'histoire des sections coniques remonte à l‘Antiquité grecque, il est naturel d'effectuer au prime abord, une approche étymologique. Cependant bien des professeurs se contentent de celle-ci sans aborder le problème de manière cognitive. Ainsi l'intérêt des sections coniques ne peut être immédiat et ce même du point de vue mathématique. Aussi nous avons commencé par faire remarquer que les sections sphériques ne représentent qu'un cas dégénéré qui ne permet d'obtenir que des cercles. Ensuite nous avons abordé les sections cylindriques. Ici, deux interventions des élèves ont montré que l'image qu'ils avaient du cylindre, était de taille finie. Par conséquent l'une des sections cylindriques mentionnées fut le rectangle. L'autre intervention qui consistait à considérer qu'une des sections cylindriques était parabolique, a mis en évidence le problème de la base du cylindre. En effet, comme ce dernier est considéré comme fini, il a deux bases. L'élève qui avait sans doute déjà vu des sections coniques, avait malencontreusement associé la parabole à la section de la base d'un cône fini. Aussi nous avons dû le convaincre grâce à l'argument suivant. Même si nous considérons que le cylindre a une base si la section obtenue par l'intersection avec le plan dépasse le diamètre du cylindre, alors elle a tendance à se refermer sur elle-même. Et ceci contredit l'idée de la parabole. Par ailleurs pour éliminer la présence mentale de la base nous avons utilisé un autre argument. Si le plan passe par la base l'intersection n'est plus une courbe mais une surface, à savoir un disque. L'ensemble de ces mises au point cognitives, nous a permis de préparer efficacement le terrain de l'étude des sections coniques. En effet, les élèves ont compris plus facilement que le cône devait être d'une part infini et d'autre part double pour pouvoir engendrer le cercle, l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. Cette dernière est la section qui a posé le plus de problème car elle n'est pas connexe. Elle est donc du point de vue cognitif perçue comme un ensemble à deux éléments. Le cône apparaît comme un objet bien plus complexe pour l'élève qui l'avait outrageusement simplifié. La symétrie parfaite de cette entité a elle aussi fait l'objet d'une discussion. Celle-ci a permis de mettre en évidence le fait que pour la relativité restreinte, l'hyperbole est un cercle en raison de la partie temporelle qui est imaginaire. Aussi les sections coniques ne constituent pas un ensemble d'éléments hétéroclites. Au contraire, les sections coniques forment un groupe cohérent et riche sur le plan cognitif et sémiologique ; Faits qui renforcent son importance au niveau mathématique. Ainsi en immergeant les sections coniques dans un cadre plus général, nous pouvons mieux mettre en évidence leurs remarquables propriétés.







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