De l'élémentaire à l'initiation

N. Lygeros




Considérons l’exercice élémentaire suivant :
Trouver tous les entiers naturelsn tels que : 2│n + 3 et n - 2│20.

Il constitue un bon exemple pour apprendre le formalisme de Maple en théorie des nombres. La première instruction nécessaire, c’est l’appel du paquet.

             with(numtheory):

Cela permet d’utiliser l’instruction divisors qui donne l’ensemble des diviseurs positifs d’un entier. Aussi il est nécessaire de rajouter la valeur -1 pour retrouver la définition mathématique. Quant à l’instruction map elle gère la liste des valeurs, une fois enlevée la structure d’ensemble par op.

             a:= map(x → x + 2, [op ({ -1} union divisors (20))]);

             a:= [1, 3, 4, 6, 7, 12, 22]

Ensuite nous translatons la liste de trois unités.

             b:= map(x → x + 3, a);

             b:= [4, 6, 7, 9, 10, 15, 25]

Pour tester la parité des termes grâce à l’instruction type(x, even) et la fonction conditionnelle

             c:= map(x → if type(x, even) then x fi, b);

             c:= [4, 6, 10]

Puis nous effectuons une nouvelle translation pour trouver les solutions finales :

             map(x → x + 3, c);

             [1, 3, 7]

Ainsi l’exercice n’a que trois solutions qui sont les valeurs 1, 3, 7.

Il est évident que cet ensemble d’instructions semble bien lourd pour résoudre cet exercice élémentaire de la théorie des nombres. Cependant il ne faut pas oublier le point de vue didactique de la chose. Car l’élémentaire tout en étant non trivial permet d’activer l’initiation au calcul formel. L’étudiant peut aisément vérifier pas à pas que les instructions utilisées donnent bien le résultat escompté. Il apprend leur fonctionnement dans un cadre qui est agréable puisque c’est celui de la recherche et non de la simple application. L’utilisation de l’exercice élémentaire offre l’occasion d’expliciter sur des cas précis l’utilisation d’une fonction qui a de multiples capacités comme par exemple map.

En réalité cet exemple d’exercice est le schéma mental suivant :

De l’élémentaire à l’initiation.

Sa simplicité ne le rend pas trivial pour autant car il montre un point didactique important. L’attention ne doit pas se porter exclusivement sur les objets mais aussi sur les relations. En choisissant des objets élémentaires nous pouvons mettre en évidence l’importance des relations. Ceci permet d’initier sans lasser car l’étudiant cherche à apprendre sans se contenter d’apprendre.







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