Συνέχεια και ιδιότητες

Ν. Λυγερός




Αν η έννοια της συνέχειας έγινε σημαντικότερη, αυτό οφείλεται στην εξέλιξη της μορφοκλασματικής ανάλυσης όπου η παράγωγος δεν υπάρχει. Συνεπώς οι ιδιότητες της συνέχειας αν και είναι φαινομενικά απλές, στην πραγματικότητα μάς εφοδιάζουν και για την ανάλυση των φράκταλ.

Μια από αυτές τις ιδιότητες είναι η εξής:
Αν η f(x) είναι συνεχής στο διάστημα α ≤ x ≤ b και αν f(α) ≠ f(b), τότε για οποιοδήποτε αριθμό c μεταξύ των f(α) και f(b) υπάρχει τουλάχιστον μία τιμή του x, έστω η x = x0, για την οποία f(x0) = c.

Αυτή η ιδιότητα είναι το θεώρημα των ενδιάμεσων τιμών. Η εφαρμογή αυτής της ιδιότητας μάς επιτρέπει να εντοπίσουμε αποτελεσματικά τις ρίζες της εξίσωσης f(x)=0. Και ο τρόπος είναι ο εξής: Αν f(α) > 0 και f(b) < 0 τότε αναγκαστικά υπάρχει μια τιμή που μηδενίζει τη συνάρτηση f(x) τουλάχιστον μια φορά. Με αυτό το εργαλείο και με τη μέθοδο της διχοτόμησης μπορούμε να προσεγγίσουμε απλά τις ρίζες ή απλώς να αποδείξουμε ότι υπάρχουν αν η τιμή δεν είναι προσιτή με έναν καθαρό υπολογισμό, με άλλα λόγια δίχως προσέγγιση ή γενικότερα χρήση της αριθμητικής ανάλυσης.

Μια άλλη σημαντική ιδιότητα είναι η εξής:

Αν η f(x) είναι συνεχής στο διάστημα α ≤ x ≤ b, τότε η f(x) έχει μια ελάχιστη τιμή m και μια μέγιστη τιμή Μ στο διάστημα αυτό.

Η σημασία αυτής της ιδιότητας και ειδικά στη μορφοκλασματική ανάλυση προέρχεται από το νοητικό σχήμα της ελαχιστοποίησης ή της μεγιστοποίησης διότι ακόμα και αν δεν ισχύει η μεθοδολογία του Lagrange εφόσον δεν υπάρχει απαραίτητα παράγωγο μέσω αυτής της ιδιότητας, ξέρουμε ότι υπάρχει μέγιστο και ελάχιστο σημείο που μπορούμε να εντοπίσουμε π.χ. με τη διχοτόμηση.

Αν η f(x) είναι συνεχής στο διάστημα α ≤ x ≤ b και c είναι ένας οποιοσδήποτε αριθμός μεταξύ των α και b και αν f(c) > 0, τότε υπάρχει ένας αριθμός λ>0, τέτοιος ώστε για c-λ < x < c+λ να είναι f(x) > 0.

Αυτή η ιδιότητα έχει ένα τοπολογικό ενδιαφέρον επιπλέον από το αναλυτικό. Ενώ η συνέχεια της συνάρτησης είναι ολική στο διάστημα [α, b] η ιδιότητα επικεντρώνεται σε μια τοπική πληροφορία σε σχέση με τον αριθμό c. Όλα βασίζονται πάνω στη διαχωριστική γραμμή y=0 και τη σημειακή απεικόνιση της τιμής f(c) > 0. Το σημείο βρίσκεται πέρα από τη διαχωριστική γραμμή και όπως η συνάρτηση είναι συνεχής, πρέπει να ενσωματώσει το σημείο και συνεπώς δημιουργούνται μέσω της πρώτης ιδιότητας δύο σημεία εκμηδένισης της συνάρτησης αν η συνάρτηση δεν είναι παντού καθαρά θετική. Άρα τα δύο σημεία δημιουργούν -αν πάρουμε τα πιο κοντινά του αριθμού c- ένα διάστημα όπου f(x) > 0 και αρκεί να επιλέξουμε το πιο κοντινό από τα δύο σημεία για να κατασκευάσουμε ένα συμμετρικό διάστημα σε σχέση με τον αριθμό c.

Γενικότερα όμως ακόμα και αν αυτές οι ιδιότητες είναι ισχυρές, δεν πρέπει να θεωρήσουμε ότι επαρκούν για ακολουθίες συνεχών συναρτήσεων εφόσον υπάρχει το αντιπαράδειγμα του Baire. Όμως ακόμα και αυτό αν το εξετάσουμε μέσω του θεωρήματος, δεν μπορεί να ξεπεράσει ένα μεγέθος αναφορικά με το πλήθος των τιμών που ενισχύουν το αντιπαράδειγμα. Και γι’ αυτό η συνέχεια μιας συνάρτησης είναι τόσο σημαντική για τη μελέτη της.







free counters


Opus