Les hypergroupes de Marty-Moufang

N. Lygeros




De construction entièrement algébrique, les hypergroupes de Marty-Moufang que nous avons introduits dans notre article intitulé les hypergroupes de Marty et les hypergroupes de Moufang, permettent de généraliser ces deux notions. Plus précisément les hypergroupes de Marty-Moufang vérifient
d’une part l’axiome de reproduction à savoir :  " x Î H  :        x ^ H = H ^ x = H,
et d’autre part l’identité de Moufang à savoir :  " (x, y, z) Î H 3  : x ( (yz) x) = (xy) (zx).



De cette manière, ils constituent une généralisation radicalement différente de celle des Hv-groupes puisque ces derniers introduisent une notion ensembliste avec l’intersection non vide. Cette différence est déjà perceptible à l’ordre 2 car dans ce cas particulier, les Hv-groupes représentent l’ensemble des quasigroupes alors que les hypergroupes de Marty-Moufang doivent vérifier l’identité de Moufang.

Hormis l’avantage considérable de généraliser les hypergroupes de Marty et ceux de Moufang - communément appelés Moufang loops - les hypergroupes de Marty-Moufang supportent naturellement les généralisations successives qui passent des nombres complexes aux quaternions et des quaternions aux octonions, donnant ainsi la direction à suivre dans les puissances de deux. Mais cette propriété provient naturellement de celle des hypergroupes de Moufang.

Les hypergroupes de Marty-Moufang offrent de plus la possibilité de rester dans le cadre algébrique tout en absorbant beaucoup plus de cas que les hypergroupes de Marty. Ne s’agissant pas d’une généralisation de type Hv-groupe, nous ne pouvons obtenir une propriété d’hérédité. Ainsi les hypergroupes de Marty-Moufang sont d’une certaine manière plus rigides que les Hv-groupes aussi nous pouvons les exploiter pour tester la robustesse de structures algébriques vis-à-vis de la généralisation. En effet, il est tout à fait possible de définir à la manière de la théorie des hypergroupes, des hyperanneaux de Marty-Moufang et des hypercorps de Marty-Moufang. De cette manière, il est possible d’ouvrir une nouvelle voie dans le domaine des généralisations qui permette d’absorber celle des quaternions, des octonions et même des sédénions sans devoir passer par une approche ensembliste même si cette dernière peut servir pour définir des relations fondamentales à l’instar de β*, γ*, ε*.

A l’instar des hypergroupes de Moufang qui ont des applications en physique théorique, il est tout à fait normal d’entrevoir des applications avec les hypergroupes de Marty-Moufang car la propriété d’associativité ne semble pas adéquate pour décrire certains phénomènes qui nécessitent l’utilisation de structures d’ordre supérieur. De plus, les hypergroupes de Marty ont des applications en conchologie. Aussi une structure qui les généralise est susceptible d’être capable de décrire des phénomènes encore plus généraux et ce, dans différents domaines. Car ce cadre crée des ruptures conceptuelles.







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