La conjecture mathématique : une transgression gnoséologique

N. Lygeros




Les mathématiques, de par leur cohérence, créent un monde de connaissances. Chaque lemme, chaque théorème est une avancée, une extension de ce monde. Et les contours de ce monde en création, qui n'ont rien de régulier, dépendent directement des domaines mathématiques auxquels ils sont associés.

Naturellement les découvertes se font à la frontière de ce monde abstrait car il s'agit de l'endroit le plus périlleux, dans le sens où le chercheur n'est pas certain d'obtenir un résultat. Par contre, si celui-ci est obtenu il sera sinon révolutionnaire du moins original.

Un des outils les plus intéressants utilisé dans cette exploration-création, c'est la synthèse. En effet la puissance d'organisation de ce procédé peut engendrer, du point de vue heuristique, une idée de généralisation qui servira de base à la conception d'une nouvelle conjecture.

Dans ce cadre, deux catégories de conjectures sont particulièrement efficaces. Nous leur donnerons les noms suivants : conjecture de sublimation et conjecture de transcendance. Comme elles nécessitent toutes les deux une activité importante du point de vue cognitif, elles ne sont pas accessibles à l'intuition naturelle. Par exemple, la célèbre conjecture de Syracuse n'appartient à aucune de ces catégories.

La conjecture de la première catégorie (sublimation) est réalisée lorsque le mathématicien entrevoit certains points-clefs qui lui permettent de construire une stratégie de démonstration. Nous retrouvons ce même type d'approche au jeu d'échecs avec les combinaisons qui sont opposées aux positions. Cette manière d'aborder un problème nouveau permet au chercheur de ne pas se noyer dans des détails techniques (à l'instar d'un galet qui fait des ricochets sur l'eau...). Ainsi il n'est pas obligé de passer par toutes les phases du développement de la future démonstration. D'où le nom de conjecture de sublimation. C'est à cette catégorie de conjecture qu'appartient l'approche d'Euler pour trouver la valeur de la fonction dzéta au point deux (cf. notre article : Pancalisme en Mathématiques. Thoth, 16, 8/1999). Enfin lorsqu'un individu utilise et exploite couramment cette catégorie de conjecture pour exister dans l'espace cognitif, il est vraisemblable qu'il ait le niveau de la première phase fondamentale (cf. M-classification. Gift of Fire, 108, 8/1999).

La conjecture de la deuxième catégorie (transcendance) est encore plus fondamentale que celle de la première. Cette fois le procédé de synthèse est beaucoup plus profond et nécessite de plus vastes connaissances et pas exclusivement d'un domaine. Et là, le chercheur n'utilise pas seulement une thèse locale mais plutôt une théorie globale. De cette réflexion naît un mouvement qui déborde littéralement les techniques standards. Ainsi ce mouvement permet de concevoir une idée hors de portée du monde des connaissances d'alors. D'où le nom de conjecture de transcendance. C'est à cette catégorie de conjecture qu'appartient l'hypothèse de Riemann. Enfin lorsqu'un individu utilise et exploite couramment cette catégorie de conjecture pour exister dans l'espace cognitif, il est vraisemblable qu'il ait le niveau de la deuxième phase fondamentale (cf. M-classification. Gift of Fire, 108, 8/1999).







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