Περί αφηρημένων και αλγοριθμικών μορφών στα μαθηματικά

Ν. Λυγερός

Μετάφραση από τα αγγλικά Β. Μπακλέση, Κ.Σταμπολίδου




Ας εξετάσουμε το παράδειγμα του κύβου του Ρούμπικ. Όταν προσπαθείτε να λύσετε αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα αρχίζετε με μια πειραματική προσέγγιση. Στη συνέχεια παρατηρείτε την σταθερότητα ορισμένων μοτίβων και με αυτά μπορείτε να βρείτε μια αλγοριθμική μέθοδο η οποία τα χρησιμοποιεί ως βήματα προς την λύση. Όταν το πρόβλημα έχει λυθεί, αν είστε πραγματικά περίεργοι και ενδιαφέρεστε προσπαθείτε να βρείτε άλλες μεθόδους επίλυσης. Στη συνέχεια, έχοντας μερικές διαφορετικές μεθόδους μπορείτε να τις συγκρίνετε και να βρείτε το κοινό τους σημείο. Αλλά για να το κάνετε αυτό, θα πρέπει να ξέρετε για το συγκεκριμένο πρόβλημα κάποιες έννοιες της θεωρίας των πεπερασμένων ομάδων. Στην πραγματικότητα, εάν έχετε ήδη αυτό το υπόβαθρο, μπορείτε να λύσετε το πρόβλημα με μια αφηρημένη μέθοδο. Ωστόσο μας φαίνεται δύσκολο να εφαρμόσουμε άμεσα μια αφηρημένη μέθοδο, ως ευρετική προσέγγιση, σε ένα νέο πρόβλημα (δηλαδή χωρίς ομοιότητες με άλλα γνωστά προβλήματα). Έτσι, για μας, η αφηρημένη μέθοδος φαίνεται να είναι ένα ενδιάμεσο για την καλύτερη και βαθύτερη κατανόηση ενός λυμένου προβλήματος. Για παράδειγμα, αν κάποιος θέλει να καταλάβει την κατάταξη των σποραδικών ομάδων (η απόδειξη των οποίων αντιπροσωπεύει πολλές χιλιάδες σελίδες), τότε αναγκάζεται να υιοθετήσει μια αλγοριθμική μορφή. Και μόνο μετά από αυτή τη φάση, μπορεί να χρησιμοποιήσει μια αφηρημένη μορφή για να ταξινομήσει την πλήρη γνώση του για το θεώρημα.

Ως συμπέρασμα, ας εξετάσουμε το μοντέλο του λαβυρίνθου. Μπορούμε να πάρουμε δύο μορφές για να το καταλάβουμε: την αλγοριθμική μορφή (αυτή της Αριάδνης) και την αφηρημένη μορφή (αυτή του Δαίδαλου). Παρόλα αυτά είναι ξεκάθαρο ότι για την πρώτη χρειάζεστε μόνο τοπική γνώση, ενώ για τη δεύτερη θα πρέπει να έχετε μια παγκόσμια γνώση.







free counters


Opus