Sur la loi de Jordan-Hölder dans les hypergroupes

N. Lygeros




En s’inspirant de la loi de Jordan-Hölder pour les groupes, Kuntzmann d’une part et Ore et Dresher d’autre part ont montré qu’il existait une loi analogue pour les sous-hypergroupes réversibles d’un hypergroupe. Cependant comme l’a justement remarqué Krasner cette nouvelle forme de la loi de Jordan-Hölder dans le cas des hypergroupes de classes qui est important pour la théorie des corps, ne peut que donner le résultat obtenu pour la loi de Jordan-Hölder sur les groupes. Selon ses propres termes si G est un groupe et si et sont deux sous-groupes de G, l’hypergroupe quotient droit de par g est invariant dans l’hypergroupe quotient droit H de G par g si, et seulement si, l’est dans G, et l’hypergroupe quotient droit de H par est isomorphe à celui de G par . Cette remarque fort judicieuse remet en cause la méthodologie classique qui consiste à copier simplement celle appliquée aux groupes. En effet avec la création des hypergroupes Marty a aussi introduit des notions analogues comme celle d’hypergroupe quotient et celle d’hypergroupe normal mais aussi celle de l’isomorphie entre hypergroupes. Ces outils avaient entre autre pour but d’aller dans le sens d’une généralisation de la loi de Jordan-Hölder dans les hypergroupes. C’est cette méthodologie qui a été suivie d’une part par Kuntzmann et d’autre part par Ore et Dresher. Ainsi en adaptant uniformément une méthodologie classique, le résultat obtenu ne pouvait être supérieur au précédent dans le cas classique des groupes. Ce qui est intéressant de constater dans la nouvelle approche de Krasner c’est qu’il revient à une forme stricte de la loi de Jordan-Hölder et non à des analogues qui remplacent la condition d’invariance par celle de la permutabilité ou celle de la quasi-invariance. Aussi paradoxalement pour se libérer, il resserre la définition de la loi et dans ce sens nous pouvons dire qu’il adopte une heuristique analogue à celle qui a été systématisée par Grothendieck puisqu’il ne conserve que le minimum pour construire l’ensemble de ses généralisations. Cela nous pouvons aussi le remarquer dans son lemme par la clôture où il explicite la contamination de cette propriété via sa restriction. Malgré tout il reprend la ligne démonstrative de Kuntzmann d’une part et d’Ore et Dresher d’autre part en généralisant certains de leurs résultats. En somme, il conserve la stratégie en la débarrassant de certains éléments tactiques afin de faire converger toutes ses forces sur une loi de Jordan-Hölder qui permet d’avoir plus d’informations grâce à des hypothèses certes équivalentes lorsque l’hypergroupe est un groupe mais plus faibles et donc plus générales dans les autres cas. Il s’agit donc d’une véritable reformulation de la problématique afin d’augmenter le rendement d’outils mathématiques existants. En d’autres termes, cette approche est interprétable comme une optimisation non linéaire.







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