Comparabilité et Hypergroupes

N. Lygeros




Dans une note précédente nous avons indiqué les revendications implicites de M. Krasner et H. S. Wall au sujet de la paternité de la découverte de la notion d’hypergroupe qui est due à F. Marty. Ici nous voulons comparer les notions développées par H. S. Wall et F. Marty afin d’identifier les points de recoupement et les points de divergences.

La notion d’hypergroupe de H. S. Wall est basée sur quatre axiomes à savoir :

      1)      Postulat du produit : Le produit de deux éléments de H est un complexe (dans le sens d’assemblage) de n éléments de H uniquement déterminés.

      2)      Postulat de l’associativité : Si (a,b,c) sont trois éléments de H alors a(bc) = (ab)c = abc.

      3)      Postulat d’identité : Il existe au moins un élément e dans H tel que pour tout élément a de H les produits ae et ea contiennent tous les deux au moins l’élément a.

      4)      Postulat de l’inverse : Il existe au moins un élément a-1 dans H tel que pour tout élément a de H les produits aa-1 et a-1a contiennent tous les deux au moins l’élément e.

Tandis que la notion d’hypergroupe de F. Marty est basée sur uniquement deux axiomes i.e. axiome de reproduction et axiome d’associativité. Ainsi l’axiome d’associativité est présent dans les deux notions. Par contre le postulat d’identité et le postulat de l’inverse qui sont interprétables en termes plus modernes comme des propriétés faibles puisqu’il n’y a pas nécessairement égalité mais intersections non vides sont totalement absorbées dans la structure d’hypergroupe de F. Marty puisque celle-ci a un sens même en l’absence d’élément neutre et du même coup d’élément inverse.

Aussi il ne reste que le postulat du produit pour différencier les deux notions d’hypergroupe. En effet la restriction aux trois autres axiomes de H. S. Wall montre clairement que la classe engendrée est incluse dans celle engendrée par les axiomes de F. Marty. Le postulat du produit permet d’introduire la notion de multiplicité et c’est celle-ci qui caractérise le formalisme opté par H. S. Wall. Néanmoins si les éléments sont tous différents alors à nouveau la classe de H. S. Wall est incluse dans celle de F. Marty.

Cet ensemble de comparaisons même s’il ne peut être totalement ordonné montre la richesse de la définition de F. Marty pour créer la notion d’hypergroupe.







free counters


Opus