Remarques sur la notion de sous-hypergroupe

N. Lygeros




Définition  : Soit H un hypergroupe. Un sous-ensemble h de H est appelé sous-hypergroupe de H si et seulement si : 1) désigne l'ensemble des parties d'un ensemble h .

•  h est un hypergroupe pour l'hyperopération induite.

De cette définition nous en déduisons que tout sous-groupe d'un groupe est un sous-hypergroupe et réciproquement puisqu'il conserve la structure interne. Cela permet aussi de voir que tout sous-ensemble non vide d'hypergroupe est un sous-hypergroupe si et seulement s'il vérifie l'axiome de reproduction. Ce fait est bien sûr réinterprétable en termes de H v -groupes puisqu'il s'agit d'une forme d'hérédité. Par contre l'intersection de deux sous-hypergroupes peut être vide et si elle ne l'est pas, elle n'est pas nécessairement un sous-hypergroupe.

Un autre domaine où intervient l'hérédité c'est dans celui de la clôture. En effet la clôture d'un sous-hypergroupe est transitive et l'intersection de deux sous-hypergroupes clos dans H , est un sous-hypergroupe clos dans H .

Cette nouvelle notion de sous-hypergroupe généralise de manière radicale celle de sous-groupe puisqu'elle offre un degré de liberté nettement plus important. Sans la contrainte de l'existence de l'élément neutre la structure globale de la structure des sous-hypergroupes d'un hypergroupe donné est plus riche et elle permet une exploitation au sein d'une même classe d'hypergroupes. En particulier pour les hypergroupes de même ordre, elle permet une classification qui n'aurait pas de sens pour des groupes. Ainsi même si certains schémas des groupes ne sont pas conservés lorsque nous les généralisons pour obtenir des hypergroupes, d'autres n'acquièrent de sens véritable que dans le cadre de cette généralisation. Et il en est ainsi de la notion de sous-hypergroupe. Ainsi la généralisation de la structure permet la création de nouveaux schémas mentaux jusque là invisibles car dans une situation dégénérée. Cela permet entre autres d'enrichir de manière constructive la notion de généralisation de Grothendieck. En effet le noyau de sa méthode de généralisation, par sa rareté permet d'identifier l'outil nécessaire à la démonstration via sa capacité à supporter le processus de généralisation. Cependant avec une notion comme celle de sous-hypergroupe, nous mettons en évidence le fait que la généralisation peut aussi être un processus qui mène à la découverte de nouveaux schémas mentaux inaccessibles par simple induction. Ainsi cette méthodologie n'est pas seulement restrictive comme nous pourrions le penser au premier abord. Elle représente donc une source de création en termes de concepts aussi elle constitue une manière non linéaire d'aborder le problème de la démonstration.







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