Η αλγεβροποίηση του Καραθεοδωρή της θεωρίας μέτρου μέσω της θεωρίας συνόλων με μερική διάταξη  

Ν. Λυγερός

 

Η αλγεβροποίηση της θεωρίας μέτρου και των ολοκληρωμάτων, είναι ένα θέμα που απασχόλησε διαχρονικά τον Καραθεοδωρή. Οι υλοποιήσεις των σκέψεών του βρίσκονται στις εξής δημοσιεύσεις:

1. Entwurf für eine Algebraisierung des Integralbegriffs. 1938
2. Bemerkungen zur Axiomatik der Somentheorie. 1938
3. Die Homomorphien von Somen und die Multiplikation von Inhaltsfunktionen. 1939
4. Über die Differentiation von Massfunctionen. 1940
5. Bemerkungen zum Riesz-Fischerschen Satz und zur Ergodentheorie. 1941
6. Gepaarte Mengen, Verbände, Somenringe. 1942
7. Bemerkungen zum Ergodensatz von G. Birkhoff. 1944
8. Mass und Integral und ihre Algebraisierung. 1956

Μάλιστα το τελευταίο βιβλίο εκδόθηκε μετά το θάνατό του, το 1950, διότι στην ουσία δούλευε πάνω σε αυτό το θέμα έως το τέλος. Και μόνο αυτή η πληροφορία δείχνει τη σπουδαιότητα που είχε για τον Καραθεοδωρή. Όταν εξετάζουμε πιο αναλυτικά τη μεθοδολογία του [βλ. opus 3424 και 3425], η αλγεβροποίηση της ανάλυσης, μέσω της θεωρίας των Somas, ακολουθεί την ιδεολογία του Hilbert, όσον αφορά στη θεμελίωση των μαθηματικών. Γενικότερα, η αλγεβροποίηση επιτρέπει την ύπαρξη ενός συνδετικού κρίκου μεταξύ ανάλυσης και θεωρίας συνόλων. Η τακτική του Καραθεοδωρή είναι βέβαια κλασική, όμως η μαθηματική του διορατικότητα τη μετατρέπει σε αποτελεσματική. Στην ουσία, από άποψη στρατηγικής, λειτουργεί στο επιχειρησιακό. Καταπιάνεται με την ανώτερη ανάλυση, μέσω της θεωρίας μέτρου και την εξετάζει με τις σ- άλγεβρες. Αυτό όμως δεν του αρκεί και ενσωματώνει αυτή την προσέγγιση στη νέα θεωρία των Somas. Αυτή η γενικότερη άποψη του θέματος έχει το πλεονέκτημα να έχει μια ξεκάθαρη αξιωματική που προσφέρει μια ισχυρή θεμελίωση ακόμα και με την άποψη του Hilbert. Όμως, η επιτυχία αυτής της θεμελίωσης προέρχεται από την ύπαρξη μιας αντίστοιχης αξιωματικής που λειτουργεί και δρα στο χώρο της θεωρίας συνόλων με μερική διάταξη. Με άλλα λόγια, ο Καραθεοδωρή ερμηνεύει τα Somas ως σύνολα με μερική διάταξη που έχουν ειδικές ιδιότητες. Το αποτέλεσμα αυτής της αντιστοιχίας είναι ότι συνδέοντας την ανάλυση μέσω της θεωρίας των Somas, με τη θεωρία συνόλων με μερική διάταξη, ο Καραθεοδωρή δεν πετυχαίνει μόνο την αλγεβροποίηση αλλά και ένα καλύτερο δέσιμο με τη θεωρία συνόλων που θεωρείται ως θεμελιακή βάση των μαθηματικών. Έτσι, από την καθαρά θεωρητική πλευρά, η μεθοδολογία του Καραθεοδωρή είναι πλήρης. Από πρακτικής πλευράς, αυτή η μεθοδολογία επιτρέπει στους ειδικούς της θεωρίας των συνόλων με μερική διάταξη να μελετήσουν τη θεωρία των Somas με τα δικά τους εργαλεία, που είναι ισχυρά σε αυτό το επίπεδο της μαθηματικής αξιωματικής ιεραρχίας. Συνεπώς, η προσέγγιση του Καραθεοδωρή δεν προσφέρει μόνο μια πληρότητα στο θεωρητικό τομέα, αλλά και ένα στρατηγικό άνοιγμα για τη συμβολή της θεωρίας των συνόλων με μερική διάταξη στον τομέα της θεμελίωσης αλλά και της ανάλυσης μέσω της αλγεβροποίησής της. Δυστυχώς, όπως αυτό το έργο του Καραθεοδωρή εκδόθηκε μετά το θάνατό του στα γερμανικά το 1956 και μεταφράστηκε στα αγγλικά μόνο το 1963, δεν έγινε ευρύτερα γνωστό και δεν αξιοποιήθηκε όπως θα έπρεπε. Αυτό όμως δεν σημαίνει ότι η ανάδειξή του είναι ανέφικτη ακόμα και τώρα. Διότι τα εργαλεία της θεωρίας συνόλων με μερική διάταξη είναι τώρα ακόμα πιο ισχυρά και μπορούν να ενισχύσουν αποτελεσματικότερα την προσέγγισή του.