Περί μαθηματικής μεθοδολογίας του Κ. Καραθεοδωρή 

Ν. Λυγερός

 

Όταν εξετάζουμε διαχρονικά το έργο του Κωνσταντίνου Καραθεοδωρή παρατηρούμε μερικά μεθοδολογικά χαρακτηριστικά που δίνουν ενδείξεις όχι μόνο για την τεχνογνωσία του αλλά και ως ένα βαθμό για τον τρόπο σκέψης. Η ιστορική προσέγγιση της μαθηματικής εξέλιξης είναι χαρακτηριστική και ιδιαίτερα ενδιαφέρουσα. Στους τομείς των μερικών διαφορικών εξισώσεων και του λογισμού μεταβολών, η προσέγγισή του είναι πράγματι ιδιόμορφη. Πρώτον, εξετάζει πάντα διαχρονικά ένα μαθηματικό πρόβλημα και δίνει λιγότερη έμφαση στη σύγχρονη σύγκριση. Ακολουθεί και την ιδεολογία που βρίσκουμε στο βιβλίο του Einstein και Infeld περί εξέλιξης των φυσικών εννοιών. Όμως η μεθοδολογία του Καραθεοδωρή δίνει μεγαλύτερη αξία ακόμα στο ιστορικό πλαίσιο, αν κι αυτό θα μπορούσε να θεωρηθεί από καθαρά μαθηματική πλευρά μη αξιόλογο. Όταν εξηγεί τη θεωρία των ολοκληρωμάτων ακόμα και μέσα σε ένα δικό του πλαίσιο που έχει αποδειχθεί και αποτελεσματικότερο από τα προηγούμενα, ο Καραθεοδωρή επιμένει και αναλύει όλο το ιστορικό υπόβαθρο. Θεωρεί ότι είναι πολύτιμο όχι μόνο για τον ερευνητή αλλά και για τον σπουδαστή που μαθαίνει για πρώτη φορά τις δυσκολίες του τομέα. Στην ουσία δίνει μεγάλη σημασία στη διαφορά που υπάρχει μεταξύ της γνώσης της απόδειξης ενός θεωρήματος και της γνώσης του θεωρήματος. Αλλά και η ανάγνωση της απόδειξης δεν είναι το ίδιο με την έρευση της απόδειξης. Κατά συνέπεια, δεν ένα αποτελεσματικό θεωρητικό πλαίσιο, για να κατανοήσει ο ερευνητής τις δυσκολίες που αντιμετώπισαν οι ερευνητές που δεν είχαν στη διάθεσή τους αυτό το εργαλείο. Είναι, επιπλέον, ικανός να υποστηρίξει τις απόψεις του με ισχυρά παραδείγματα του μαθηματικού περιβάλλοντος, με τα οποία καταρρέει κάθε κλασική προσέγγιση δίχως ιστορικό περιεχόμενο. Όταν προσθέτει στην ανάλυσή του τις θεωρίες του Lagrange, Jacobi, Mayer και Lie όσον αφορά στα ολοκληρώματα, αποδεικνύει την ίδια στιγμή ότι μόνο μια απλοϊκή προσέγγιση της θεωρίας θα απέρριπτε αυτές τις τεχνικές, διότι σε μερικές ειδικές περιπτώσεις είναι αποτελεσματικότερες από το γενικό πλαίσιο. Με άλλα λόγια, δεν ξεχνά τη συμβολή του Galois σε σχέση με το θεώρημα του Abel. Διότι το γενικό πλαίσιο αν και ισχυρό για να λύσει ένα γενικό πρόβλημα δεν προσφέρει δυναμικές δυνατότητες επίλυσης ειδικών προβλημάτων. Έτσι ο Κ. Καραθεοδωρή όχι μόνο ενσωματώνει την ιστορία των μαθηματικών στη γνωστική του προσέγγιση. Αποδεικνύει, επιπλέον, ότι εμπεριέχουν θετικά στοιχεία ακόμα και από μαθηματική άποψη. Ο Κ. Καραθεοδωρή δεν ξεχνά τις δυσκολίες της μαθηματικής ιστορίας διότι γνωρίζει πόσο σημαντικές είναι αυτές οι νοητικές μάχες που δόθηκαν από τους προηγούμενους, για να δημιουργήσουν μια αλλαγή φάσης για τη διευκόλυνση των επομένων. Αποτελεί έναν εξαιρετικά συνδετικό ισχυρό κρίκο σ’ όσους θέλουν πραγματικά να κατανοήσουν την εξέλιξη των μαθηματικών στους τομείς με τους οποίους ασχολήθηκε εντατικά και δίνει ένα αποτελεσματικό παράδειγμα στους μαθηματικούς με μεγαλύτερη εμβέλεια που θέλουν να επινοήσουν καινούριες μαθηματικές θεωρίες.