Carathéodory dans les Eléments de Bourbaki

N. Lygeros


En France, nous connaissons bien le style développé par l’auteur polycéphale Bourbaki dans son œuvre majeure à savoir les Eléments de Mathématique. La connaissance de ce contexte nous permet de juger à sa juste valeur la présence de Constantin Carathéodory dans ses références. De plus comme l’œuvre de Nicolas Bourbaki demeure pour le moment inachevée, nous ne serions pas surpris si par la suite d’autres références apparaissaient en particulier dans le domaine du calcul variationnel. Malgré tout nous devons préciser que Carathéodory était le président du premier jury de la Médaille Fields en 1936 à Oslo dans lequel se trouvait Elie Cartan, le père d’Henri Cartan, membre fondateur du groupe Bourbaki. Et il était conférencier principal en 1932 au Congrès International des Mathématiques à Zurich. Aussi il n’était pas inconnu au groupe. Dans l’autre sens, nous ne devons pas oublier qu’il était considéré comme un mathématicien allemand même si ses langues maternelles étaient le français et le grec. Mais Carathéodory était dans la lignée de David Hilbert, fait qui ne pouvait déplaire à Bourbaki. Nous voulons montrer par ces sources qui s’opposent, la relative neutralité de la cause de sa présence dans les Eléments. La première référence se trouve dans les espaces topologiques. Le substrat est constitué par les idées de Cantor, celles de Riemann et le formalisme de Hilbert dans la démonstration de l’existence du minimum dans le principe de Dirichlet qui inaugurait la méthode directe du calcul des variations.

« [...] on voyait apparaître nettement l’intérêt qu’il y a de considérer des ensembles de fonctions où soit valable le principe de Bolzano Weierstrass [...] de tels ensembles devaient bientôt en effet jouer un rôle important, non seulement en calcul des variations, mais dans la théorie des fonctions de variable réelle (Ascoli, Arzela) et dans celle des fonctions de variable complexe (Vitali, Carathéodory, Montel). »

Mais les références les plus importantes se trouvent dans le domaine de l’intégration. Le travail de Carathéodory est mis en exergue à travers la théorie générale de l’intégration.

« Mais il restait à populariser la nouvelle théorie, et à en faire un instrument mathématique d’usage courant, alors que la majorité des mathématiciens, vers 1910, ne voyait dans l’intégrale de Lebesgue q’un instrument de haute précision, de maniement délicat, destiné seulement à des recherches d’une extrême subtilité et d’une extrême abstraction. Ce fut là l’œuvre de Carathéodory, dans un livre longtemps resté classique et qui enrichit d’ailleurs la théorie de Radon de nombreuses remarques originales. »

Alors que le cadre est difficile du point de vue de la communauté mathématique, Carathéodory parvient à rendre effectif un outil certes beau mais théorique. Le livre que cite Bourbaki a pour titre : Vorlesungen ûber reelle Funktionen et il a été édité en 1918. La critique de Bourbaki est extrêmement élogieuse au sujet de l’œuvre de Carathéodory. Il faut dire que celui-ci va dans le sens de la complétude, un argument auquel Bourbaki ne pouvait rester insensible. Cependant, il existe un point encore plus important comme nous pouvons le constater avec la suite du commentaire.

« Mais c’est avec ce livre aussi que la notion d’intégrale, qui avait été au premier plan des préoccupations de Lebesgue (comme le marquent suffisamment les titres de sa thèse et de son principal ouvrage sur ces questions) cède le pas pour la première fois à celle de mesure, qui avait été chez Lebesgue (comme avant lui chez Jordan) un moyen technique auxiliaire. Ce changement de point de vue était dû sans doute, chez Carathéodory, à l’excessive importance qu’il semble avoir attachée aux « mesures p-dimensionnelles ».
Ici nous assistons à un début de polémique tout à fait révélateur de l’époque. L’intérêt pour nous, à l’heure actuelle, c’est que Bourbaki se place dans un cadre aisé pour critiquer puisqu’il travaille a posteriori. Seulement la recherche mathématique ne s’est pas arrêtée à cette époque et ses arguments ont perdu de leur force. En effet, le point qu’il critique chez Carathéodory est justement celui qui a donné par la suite naissance à la mesure de Hausdorff. Or celle-ci est fondamentale pour des théories sur les fractales, ondelettes et multifractales. Bourbaki enfonce le clou de sa critique avec la note suivante.

« Il s’agit là de la généralisation de la notion de « longueur d’une courbe plane » à des valeurs quelconques n et p de la dimension de l’espace ambiant et de la dimension de l’espace étudié ; on suppose bien entendu qu’on a 0≤p≤n mais on ne suppose pas toujours que p soit entier. Cette question a fait l’objet de travaux de nombreux acteurs depuis Minkowski, Carathéodory et Hausdorff. Lebesgue lui-même, qui en abordant des cas particuliers dans sa thèse, ne semble pas y avoir vu autre chose qu’une occasion de mette à l’essai la puissance des outils qu’il venait de forger. »

En réalité, s’il existe une critique à faire, elle doit être faite à l’encontre de Lebesgue qui s’est comporté comme Max Planck à l’égard de sa constante. La nouvelle tendance prônée par Carathéodory ne faisait que mettre en place un cadre fort riche. Les travaux de Julia et de Faton vont dans le même sens. Et nous savons combien cette approche a été enrichie par la suite par Mandelbrot. Malgré tout Bourbaki poursuit ainsi :

« Depuis lors les auteurs qui ont traité d’intégration se sont partagés entre ces deux points de vue, non sans entrer dans des débats qui ont fait couler d’encre sinon beaucoup de sang. Les uns ont suivi Carathéodory ; dans leurs exposés sans cesse plus abstraits et plus axiomatisés, la mesure, avec tous les raffinements techniques auxquels elle se prête, non seulement joue le rôle dominant, mais elle tend à prendre contact avec les structures topologiques auxquelles en fait elle est liée dans la plupart des problèmes où elle n’intervient pas. »

Bourbaki ne se doute pas que la première partie de sa critique, à savoir son éloge, peut aussi s’appliquer à la seconde. Car pour remettre en cause son point de vue, il a suffi que des chercheurs comme Mandelbrot popularise à leur tour cette approche trop formelle pour la transformer en un outil mathématique efficace et pas seulement en mathématiques pures. Bourbaki serait surpris – nous parlons du Bourbaki de l’époque, si cette expression a un sens - de voir combien d’applications nous voyons à présent en mathématiques appliquées, en physique, en chimie et même en biologie qui proviennent toutes de ce même changement de point de vue. En d’autres termes, la valeur de Carathéodory est implicite dans Bourbaki mais elle est réelle.