Etude de l’article de C. Carathéodory sur la représentation conforme des polygones convexes

N. Lygeros


 
   
 

L’article de Constantin Carathéodory intitulé Sur la représentation conforme des polygones convexes est paru dans les Annales de la Société scientifique de Bruxelles, Tome XXXVII, Seconde partie, p.1 à 10, en 1913. Son but comme le décrit Constantin Carathéodory dans la première page, c’est de démontrer le théorème suivant.

Théorème     Les (n+2) premiers coefficients a 0, a ≠ 0, a 2, ..., a n + 1 d’une série de puissances  étant donnés, on peut toujours déterminer les coefficients suivants a n + 2, a n + 3, ... de façon que l’élément de fonction analytique, considéré à l’intérieur de son cercle de convergence, livre la représentation conforme d’un polygone convexe sur ce cercle.

La détermination de ces coefficients est unique si l’on exige que le polygone en question ait n côtés au plus (n étant le même nombre entier que plus haut.)

Dans le second point de l’article, l’auteur met en évidence que 2 n + 4 constantes réelles déterminent un polygone à n côtés.

Ensuite, il redémontre le résultat de Study sur la représentation conforme d’une figure convexe sur un cercle publié dans le livre : Konforme Abbildungen einfach zusammen hängender Bereiche (Leipzig, Teubner 1912) et il en donne une reformulation.

Théorème : La condition nécessaire et suffisante pour qu’une fonction analytique (z) livre la représentation conforme d’un domaine convexe quelconque sur le cercle , est qu’à l’intérieur de ce cercle la fonction  soit régulière, qu’elle y ait en outre une partie réelle positive et que f’ (0) ne soit pas nul.

Puis, grâce à un argument sur les angles du polygone convexe considéré :  et la relation élémentaire , il exploite la formule de Christoffel et de Schwarz

pour obtenir :

.

Aussi à partir de , il calcule les n premiers coefficients de la série et trouve :

Il montre ensuite que le problème initial revient à déterminer n constantes réelles, n constantes complexes avec des contraintes et ce système d’équation n’admet qu’une solution unique. Quant à la détermination des constantes, il l’obtient grâce à une remarque due à Toeplitz et les travaux que l’auteur a effectués avec Féjer.

Enfin l’itération de ce type de procédé permet à Constantin Carathéodory de mettre en exergue une notion introduite par Study à savoir la « borne de convexité » i.e. Rundungsschranke en allemand.