Transcription de la page sur la théorie des centres d'Alexandre Carathéodory

N. Lygeros


On appelle centre dans une courbe etc. La méthode pour
trouver les centres des courbes consiste à y transporter l’origine des coordon-
nées et au moyen de la forme particulière que prend alors l’
équation de trouver les coordonnées de cette nouvelle origine.
Si l’équation de la courbe ne change pas lorsqu’on y change
x en -x et y en -y. En effet etc. Cette démonstration s’applique évi-
dement à une courbe quelconque algébrique ou transcendante.
De là il résulte que dans une équation algébrique, si l’origine
est un centre de la courbe qu’elle représente : tous les termes doivent
être de même parité que le degré de la courbe car si on y
change à la fois les signes des deux variables les termes au
plus haut degré changeront de signe ou n’échangeront pas selon
que m est pair ou impair, et comme l’équation ne doit pas
changer il faudra que tous les termes soient de même pari-
té que le degré de l’équation. Il en résulte aussi qu’
une courbe de degré impair si elle a pour centre l’origine des
coordonnées passe par ce point : car si on change les signes des
deux variables, les signes de tous les termes de degré impair
et en particulier des termes du 3è degré changent : donc pour
que l’équation ne change pas, ce qui est supposé arriver, il faut
que le terme tout connu n’existe pas dans l’équation, c-à-d
que la courbe passe par l’origine des coordonnées. Si une
courbe de degré pair, et qui a pour centre l’origine des coordonnées
passe par ce point, il devrait y avoir deux branches de courbe qui
se réunissent en ce point.